反三角函数图像对比：一次错题复盘
反三角函数图像对比最适合放进同一坐标系观察。下面复盘一道真实感很强的课堂错题：要求比较arcsin x、arccos x和arctan x，学生却画出了三条递增曲线。问题出在哪，按问答还原全过程。
题目到底要求比较什么？
题目给出同一坐标系，要求画出三种基本反三角函数，并比较定义域、值域、单调性和交点。学生小周先凭印象画了三条S形曲线，认为它们都是三角函数翻转后的结果。
这一步已经暴露问题：图像对比不能只看轮廓。arcsin和arccos的定义域只有[-1，1]，arctan却覆盖整个横轴；三者即使局部接近，整体边界也完全不同。
为什么arccos被错画成递增？
小周记得「反函数关于y=x对称」，却忘了cos x采用的主值区间是[0，π]。cos x在这个区间从1下降到-1，反射之后，arccos x仍然从左上方向右下方递减。
我们用三个点现场纠正：arccos(-1)=π，arccos 0=π/2，arccos 1=0。只要按x从小到大排列，函数值持续下降，任何递增画法都站不住。
三条图怎样放在一起才不乱？
先统一使用弧度制，再画横轴范围[-3，3]、纵轴范围[-2，3.5]。arcsin用实线连接(-1，-π/2)、(0，0)、(1，π/2)；arccos连接(-1，π)、(0，π/2)、(1，0)。
arctan则从左侧接近-π/2，经过(0，0)，再向右接近π/2，并补上两条水平虚线。这样一眼能看出：arcsin和arccos有端点，arctan没有横向边界。
图像之间有哪些可验证关系？
第一组关系是arcsin x+arccos x=π/2。因此在相同x下，一条图像上升，另一条下降，两者纵坐标之和保持不变。它们都经过横坐标0，但纵坐标分别是0和π/2。
第二组关系是arcsin和arctan都是奇函数，都经过原点并关于原点对称。不过它们并不重合：在0<x<1时，arcsin x通常高于arctan x，例如x=1时前者为π/2，后者只有π/4。
这次错题最后怎样收尾？
小周重新作图后，把检查顺序写在草稿边上：先横向范围，再纵向范围，然后看增减，最后标端点或渐近线。第二次只用两分钟，三条曲线的位置全部正确。
这次反三角函数图像对比复盘说明，错图往往不是不会画，而是没有建立比较维度。把三类函数放在同一坐标系时，边界和趋势比曲线是否漂亮更重要。
常见问题
arcsin x和arctan x在什么位置相交？
两者都经过(0，0)。在共同定义域[-1，1]内，除x=0外一般不再相等；正半轴上arcsin x高于arctan x，负半轴上相反。
arcsin x与arccos x的图像有什么关系？
两者满足arccos x=π/2-arcsin x。可把arcsin图像先关于x轴翻折，再向上平移π/2得到arccos图像。
对比反三角函数图像时最先看什么？
先看定义域。arcsin和arccos只存在于[-1，1]，arctan覆盖全体实数，这一项能最快排除大部分错误图。